NEM EUKLIDESZI GEOMETRIÁK
Euklidesz
Kr. e. 300 körül született görög matematikus, akit később a geometria atyjaként is emlegettek. Platón akadémiáján tanult Athénben. Az alexandriai matematikai iskola megalapítója. Ő a híres ókori matematikakönyv, az Elemek szerzője, amelyben összefoglalta a matematika alapjait (euklideszi geometria). Az Elemekben a geometriai objektumok tulajdonságait viszonylag kis számú axiómából vezeti le, így a modern matematika axiomatikus módszerének úttörője (esetleg ihletője) volt. Egyéb művei a perspektíváról, kúpszeletekről, szférikus geometriáról szólnak. Születésének éve és helye, valamint halálának körülményei ismeretlenek.

„A geometriához nem vezet királyi út!”
(Euklidesz)
Euklidesz könyvében definiálja az egyenesek párhuzamosságát. Bírálói már az ókorban úgy érezték, hogy a XI. axióma túlságosan bonyolult, ezért megpróbálták a többi alapvetés segítségével bebizonyítani. 

A XI. axióma (5. posztulátum)

Ha a síkban két egyenest egy harmadik úgy metsz, hogy a létrejövő belső szögek összege a harmadik egyenes egyik oldalán kisebb két derékszögnél, akkor az első két egyenes metszi egymást.

Ha a síkban meg van adva egy egyenes és egy rajta nem fekvő pont, akkor az utóbbin pontosan egy olyan egyenes halad át, amely az adott egyenest nem metszi.

Bármely háromszög belső szögeinek összege két derékszöggel egyenlő.

Évszázadokon át sokan megkísérelték, hogy a párhuzamossági axiómát bebizonyítsák Euklidesz többi axiómája alapján. Mindezek a bizonyítási kísérletek lényegében véve ugyanazt az utat követték: kiindultak abból a feltevésből, hogy nem igaz a párhuzamossági axióma állítása és ebből próbáltak olyan következményeket levezetni, amelyek előbb-utóbb ellentmondásba kerülnek a többi axiómával.
Bolyai János és Lobacsevszkij (Gausshoz hasonlóan) ugyanazt a definíciót használják: az AM és BN félegyenest párhuzamosnak mondjuk, ha minden A-ból kiinduló és a BAM szögtartományban haladó félegyenes metszi a BN félegyenest, de AM és BN nem metszi egymást.

Bolyai Farkas (1775–1856)
Elszegényedett nemesi családból származott. Nagyenyeden tanult, majd a kolozsvári Református Kollégiumba iratkozott be.  1796-ban iratkozott be a göttingeni egyetemre. Életre szóló és félszázados levelezésben megnyilvánuló barátságot kötött az ugyancsak ott diákoskodó Gauss-szal. Matematikai eredményeit Tentamen című művében foglalta össze. Sok fölös energiát pazarolt a párhuzamossági posztulátum bizonyítására. Ebbéli sikertelensége annyira letörte, hogy fiának tartott leckéi alkalmával igyekezett kikerülni ezt a problémát.

Bolyai János (1802–1860)
Bolyai János Bolyai Farkas fia. Matematikai adottságai korán megmutatkoztak. Négyesztendős korában több geometriai testet ismer. Bolyai Jánosról nem maradt arckép. Az egyetlent a hagyomány szerint ő maga semmisítette meg. Tizenkét éves korában felvették a marosvásárhelyi Református Kollégiumba. 1830-ban átadta atyjának az Appendix latin nyelvű kéziratát, amely végül 1832-ben mint a Tentamen első kötetének függeléke meg is jelent. Bolyai János magányosan, mindenkitől elhagyatva halt meg.

Bolyai Appendixében a párhuzamosság előbb megfogalmazott definíciójából kiindulva sorra teljes szabatossággal igazolja azokat a tételeket, amelyek a párhuzamossági axióma feltételezése nélkül leírják a geometriai alakzatok összes lényeges összefüggéseit, többek között a trigonometria képleteit. A tér olyan abszolút igaz tudományát fejti ki, amely független attól, igaz-e vagy hamis Eukleidész párhuzamossági axiómájának állítása.
Lobacsevszkij a maga elméletét Bolyaival csaknem egy időben dolgozta ki, s valamivel korábban, 1829-ben közölte nyomtatásban.
Az euklideszi geometria túlságosan kötődik való világunkhoz. A bonyolultabb világkép más geometriát igényel. Példaként tekintsünk a Földön két szélességi kört, melyek az Északi-sarkon találkoznak. A gömbfelület kis tartományában az euklideszi síkgeometria érvényesül, de az egész gömbfelületre már a tételek nem érvényesek. A nem euklideszi geometriát is igazán csak akkor értette meg és fogadta el a tudóstársadalom, amikor törvényszerűségeit szemléletes modelleken lehetett bemutatni.
Nyikolaj I. 
Lobacsevszkij (1792–1856)
Az orosz szerzők a nem euklideszi geometria születésének dátumát 1826. február 11-re teszik, amikor Lobacsevszkij a kazanyi egyetemen ismertette gondolatait. Tézisei 1829-ben láttak napvilágot. Lobacsevszkij ekkor a kazanyi egyetem rektora volt. A tudóstársadalom ennek ellenére az ő eszméit is csak nehezen fogadta be, élete végéig harcolt műve elismertetéséért.

Carl Friedrich Gauss
(1777–1855)
Német matematikus és természettudós, aki a tudományok számos területének fejlődéséhez járult hozzá. Gausst szintén izgatta a párhuzamossági axióma. Bolyai Farkasnak küldött, Bolyai Jánost mélyen elkeserítő levelében majdhogynem prioritási igényt jelentett be a párhuzamosságról alkotott tézisekről. Gauss azonban élete végéig egyetlen sort sem közölt nyomtatásban ilyen irányú gondolatairól. Mindezek alapján az új geometriát tárgyilagosan Bolyai–Lobacsevszkij-geometriának nevezhetjük.





Nem euklideszi geometria
A párhuzamosok tényleg találkoznak a végtelenben?
Az egyenes vonalú háromszög belső szögeinek összege
Az euklideszi geometriában állandó mennyiség, 180º (radián, gyakori régi jelöléssel 2R, azaz két derékszög).
A hiperbolikus
(Bolyai - Lobacsevszkij)  nem euklideszi geometriában változó mennyiség, de határozottan kisebb, mint 180º és bizonyos extrém esetekben lehet 0º is. 
A szférikus (Riemann)  nem euklideszi geometriában változó mennyiség, de határozottan nagyobb, mint 180º és bizonyos extrém esetekben lehet 360º is.